CAVO werkgroep

Wiskundelessen met Derive, 15 practica van de werkgroep CAVO

Agnes Verweij, TU Delft

De werkgroep Computeralgebra in het Voortgezet Onderwijs, afgekort tot CAVO, bestaat nu twee jaar. Het eerste produkt van CAVO is een bundel practicummaterialen voor de bovenbouw van havo en vwo. In dit artikel wordt beschreven hoe de bundel tot stand gekomen is en worden vorm en inhoud van het materiaal besproken. Ten slotte wordt iets gezegd over de plannen van CAVO voor de toekomst.




De start van CAVO

In de zomer van 1993 waren bij CAN ongeveer zestig namen en adressen bekend van wiskundedocenten die zich bij verschillende gelegenheden hadden opgegeven als belangstellende voor deelname aan eventuele activiteiten op het gebied van computeralgebra en voortgezet onderwijs. Een twintigtal van hen reageerde positief op een oproep om in december 1993 naar Utrecht te komen voor de oprichting van de werkgroep Computeralgebra in het Voortgezet Onderwijs (CAVO). Deze werkgroep zou haar werkzaamheden gaan verrichten onder auspiciën van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren, met praktische steun van CAN en de TU Delft, en met medewerking van Paul Drijvers (Freudenthal instituut), Leendert van Gastel (CAN) en de auteur van dit stuk, Agnes Verweij (TU Delft).

De meeste van deze docenten hadden op school wel eens iets met computeralgebra gedaan. Een aantal van hen beperkte zich daarbij tot het geven van demonstraties, anderen hadden ook leerlingen met een computeralgebrapakket laten werken. Enkele docenten hadden dit laatste gedaan in het kader van de experimenten met de door Paul Drijvers ontworpen practica met Derive. Deze practica zijn, samen met begeleidende docentenbladen, in de zomer van 1992 op de markt gebracht [P. Drijvers, Wiskunde leren met Derive]. en alle aanwezigen bleken deze publikatie te kennen. Dat toch niet iedereen er toe gekomen was dit materiaal in de klas te gebruiken, had in hoofdzaak met twee problemen te maken.

Eén probleem was dat in de meeste van deze practica onderwerpen op het gebied van wiskunde B behandeld worden, maar dat de inhoud niet altijd precies aansluit bij de reguliere leerstof van de bovenbouw van havo en vwo. En juist bij wiskunde B in de bovenbouw van havo en vwo zijn de programma's zo overladen dat er in de lessen nauwelijks tijd is voor extra stof. Het andere probleem was dat er op school vaak nog geen computeralgebrapakket (legaal) voor leerlingen beschikbaar was. Tijdens de eerste vergadering bleek dat CAN voor de CAVO-leden de moeilijkheden op het gebied van de beschikbaarheid van een computeralgebrapakket snel kon oplossen (met dank aan Dick Verkerk van CAN Diensten voor het verkrijgen van de licenties). Men was het er over eens dat Derive door de mogelijkheden die het programma biedt, het gebruiksgemak, de beperkte eisen die het aan de apparatuur stelt en de betrekkelijk lage prijs, het meest geschikte computeralgebraprogramma voor het voortgezet onderwijs is. Het is de bedoeling dat CAN aan de scholen van de werkgroepleden op gunstige voorwaarden een licentie voor Derive zal verstrekken. Een oplossing vinden voor het probleem van de aansluiting tussen wiskundeonderwijs met Derive en het reguliere programma werd nu dé uitdaging voor CAVO.


Werkwijze

De werkzaamheden van de CAVO-leden bestaan uit het ontwerpen van practicummateriaal voor gebruik van Derive bij het huidige onderwijs in wiskunde A en wiskunde B voor de hogere klassen van havo en vwo, het becommentariëren van elkaars produkten, het uitproberen van het materiaal met leerlingen en het uitwisselen en verwerken van de hierbij opgedane ervaringen. De bedoeling is kant-en-klaar praktisch bruikbaar materiaal te maken waarmee ook minder enthousiaste collega's over de streep getrokken kunnen worden om wiskundelessen met Derive te gaan geven.

Na een aantal bijeenkomsten en evenzovele discussies over inmiddels geproduceerde practicummaterialen, zijn de volgende aanvullende afspraken over de inhoud en de vormgeving van het materiaal gemaakt. Behalve practica waarin stukjes van de leerstof uit het huidige programma met Derive als hulpmiddel behandeld, uitgebreid of verdiept worden, ontwikkelt CAVO ook practica waarin computeralgebra gebruikt wordt om nieuwe onderwerpen of nieuwe toepassingen van `oude' stof binnen het bereik van leerlingen te brengen. Deze extra stof hoeft niet per se met hele klassen in de gewone lestijd uitgeprobeerd te worden. Van een experimentje met enkele leerlingen die zo'n practicum in een tussenuur of na schooltijd willen maken, is ook veel te leren.

Een aandachtspunt bij het ontwerpen van practica is dat, behalve van de grafische en numerieke mogelijkheden van Derive, ook steeds van de typische computeralgebrafaciliteiten formulemanipulatie en symbolisch rekenen geprofiteerd wordt. Met uitzondering van de practica waarin kennismaken met het programma Derive voorop staat, worden op de opdrachtenbladen weinig of geen technische aanwijzingen over het gebruik van Derive gegeven. In een kennismakingspracticum moeten de leerlingen de belangrijkste mogelijkheden van het programma leren kennen en oefenen met de bediening ervan. Daarna gaat het om de wiskunde, waarbij Derive, als daar aanleiding toe is, als hulpmiddel ingezet kan worden. In zo'n geval moet de leerling op een bij het betreffende practicum behorend afzonderlijk Derive-blad de nodige specifieke technische aanwijzingen kunnen vinden.

Als vorm voor de Derive-bladen is de opmaak uit `Wiskunde en Derive' van Paul Drijvers overgenomen: links een kolom onder de titel ``Wat wil je?'' en rechts een kolom ``Hoe doe je dat?''. Bij elk practicum wordt een docentenblad gemaakt waarop de doelgroep, het doel van het practicum, de noodzakelijke wiskundige voorkennis, de vereiste kennis van Derive en de geschatte tijdsduur zijn vermeld, en waarop tevens enkele praktische en didactische tips gegeven worden.


De bundel

Nu, na twee jaar werken, ligt er de bundel `Wiskundelessen met Derive'. Het is een mooie uitgave van CAN geworden met vijftien practica van CAVO voor de bovenbouw van havo en vwo. Van de auteurs, mensen die met beide benen in de onderwijspraktijk staan, hebben velen heel wat vrije tijd in dit produkt gestoken. Zij mogen best trots zijn op het resultaat. In hoeverre de bundel door anderen echt gebruikt zal worden, zullen we nog moeten afwachten. We hopen op veel reacties en suggesties voor verbeteringen naar aanleiding van praktijkervaringen. Maar voor het zover is, wil ik zelf eens even terugblikken en nagaan wat er van de aanvankelijke bedoelingen nu precies wel en niet terecht gekomen is.


Vorm en inhoud

Voor ieder practicum is, zoals afgesproken was, een docentenblad met de nodige aanwijzingen en tips in de bundel opgenomen. Bij dertien van de veertien practica die volgen op het eerste `Kennismaken met Derive' is ook een apart Derive-blad met ``Wat wil je?'' en ``Hoe doe je dat?'' gemaakt. Hierdoor konden de aanwijzingen over de benodigde Derive-commando's op de opdrachtenbladen van deze practica tot een minimum beperkt blijven, zodat de aandacht niet afgeleid wordt van waar het in de opgaven om gaat. Bij een van de niet-inleidende practica waar een Derive-blad bij hoort, is de bedoelde scheiding tussen wiskundeopgaven en technische aanwijzingen over het gebruik van het hulpmiddel Derive toch niet strikt doorgevoerd. De reden hiervoor is dat in dit geval sommige in te typen commando's vrij ingewikkeld zijn. Deze zijn daarom, steeds voorafgaand aan de opgave waarbij ze voor het eerst nodig zijn, ook op de opdrachtenbladen gegeven en van een korte toelichting voorzien.

Heel goed gelukt is de opzet om in de bundel een diversiteit aan onderwerpen te bieden die soms heel dicht bij, maar soms ook vrij ver af staan van het huidige programma. Standaardstof, uitbreiding, verdieping, toepassing, en nieuwe stof, het komt er allemaal in voor. Standaardstof en uitbreiding van standaardstof zien we in `Grafieken tekenen en vergelijkingen oplossen', het enige practicum dat - afgezien van `Kennismaken met Derive' - voor 3 havo/vwo gemaakt is, en in de drie practica voor 4 vwo. Het practicum `Transformaties' voor 4 vwo behandelt bijvoorbeeld de gebruikelijke transformaties van grafieken van functies, maar er worden nu ook ellipsen verschoven en ten opzichte van de coördinaatassen vermenigvuldigd, waarbij steeds de vergelijkingen van origineel en beeld vergeleken worden. Verdieping en toepassingen komen aan de orde in de drie practica voor wiskunde A van de bovenbouw van havo en vwo. Zo wordt in het laatste van de drie, `Roodborstjes', de stof van de gelijknamige toegepaste eindexamenopgave voor vwo wiskunde A (1992 eerste tijdvak) veel verder uitgespit dan op het centraal schriftelijk eindexamen mogelijk is. Nieuwe stof ten slotte, is uiteindelijk nog het meest geproduceerd. Opvallend is dat juist de zeven practica die bestemd zijn voor de wiskunde B-leerlingen van de bovenbouw van havo en vwo die extra stof behandelen. Minder bekende formules voor de inhoud van ruimtelijke figuren, rijen en reeksen, een benaderingsmethode voor wortels, een stukje getaltheorie en booglengte van krommen komen hier aan bod.


De rol van Derive

Uit de bovenstaande beschrijving van de inhoud blijkt dat de bundel, zoals bedoeld, voor de hoogste klassen van havo en vwo zowel wiskunde A- als wiskunde B-onderwerpen bevat, maar ook dat de verhouding duidelijk in het nadeel van A is uitgevallen. Dit heeft te maken met de afspraak dat steeds geprobeerd zou worden te profiteren van alle mogelijkheden van Derive als computeralgebraprogramma. Bij een aantal onderdelen van wiskunde A is echter niet duidelijk wat formulemanipulatie en symbolisch rekenen aan de behandeling van de stof zouden kunnen bijdragen.

De opdrachtenbladen in de bundel doornemend, valt overigens toch op hoe vaak er een beroep gedaan wordt op de grafische en de numerieke mogelijkheden van Derive. In sommige practica worden de formulemanipulatiemogelijkheden en het symbolisch rekenen van dit programma maar voor een enkele opgave gebruikt. Maar het komt ook voor dat een practicum zonder deze typische computeralgebramogelijkheden helemaal niet zou kúnnen. Dat voorbeelden van het laatste te vinden zijn onder de practica waarin nieuwe stof behandeld wordt, ligt voor de hand. Ik noem er twee: `De inhoud van een afgeknotte kegel' en `Priemgetallen', beide bestemd voor wiskunde B-leerlingen van de bovenbouw van havo en vwo. Aan deze practica is te zien hoe sommige onderwerpen die tot nu toe te lastig gevonden werden voor het voortgezet onderwijs, door computeralgebra binnen het bereik van leerlingen gebracht kunnen worden.


Verschillende wiskundige activiteiten

Over de soorten wiskundige activiteiten waarbij Derive ingezet zou worden, is in CAVO nooit iets afgesproken. Achteraf kan vastgesteld worden dat in deze practica vooral de volgende vier activiteiten door Derive ondersteund worden:

Een activiteit waar Derive maar een enkele keer bij gebruikt wordt, is:

Antwoorden controleren met Derive zien we niet alleen waar antwoorden eerst zonder hulpmiddelen gevonden zijn, maar ook nadat de leerling op grond van via Derive geproduceerde grafieken of series uitkomsten van berekeningen een uitspraak gedaan heeft of een formule heeft opgesteld. Experimenteren is een activiteit die met name bij de practica over wiskunde A van de leerlingen gevraagd wordt. Hier moet men zelf eens wat aan de randvoorwaarden `sleutelen' en dan nagaan wat het effect is als hierdoor enkele matrixelementen van waarde veranderen. Een duidelijk voorbeeld van onderzoeken is te vinden in het al eerder genoemde practicum `Priemgetallen', waar aan leerlingen gevraagd wordt na te gaan of de dichtheid van priemgetallen bij grote getallen afneemt. Nieuwe formules afleiden is het hoofdonderwerp van het ook al eerder genoemde practicum `De inhoud van een afgeknotte kegel', maar het gebeurt bijvoorbeeld ook in een opgave van `Rond veeltermfuncties' voor 4 vwo waarin op basis van de bekende formule voor de x-coördinaat van de top van een parabool met behulp van Derive ook de formule voor de `y-top' wordt afgeleid. In dit laatste practicum zien we ook een mooi (en voor leerlingen moeilijk!) voorbeeld van bewijzen met Derive. Gevraagd wordt aan te tonen dat voor iedere vierdegraads functie waarvan de grafiek twee buigpunten heeft, de x-coördinaat van het snijpunt van de buigraaklijnen nulpunt is van de derde afgeleide van de functie.


Uitproberen met leerlingen

Wat tegengevallen is, is dat het uitproberen van materialen met leerlingen minder vaak heeft plaatsgevonden dan de opzet was. Uiteindelijk is de helft van de practica goed uitgetest. Bij deze groep zeer gemotiveerde docenten waren er toch steeds praktische bezwaren (computerlokaal bezet, alle lessen nodig voor voorbereiding op proefwerk of examen, zelf te druk gehad om het goed voor te bereiden, toch niet klaar gekomen met het hoofdstuk waarin de benodigde wiskundige voorkennis werd behandeld) die maakten dat het er in de lessen niet van kwam. Ook met het idee om een paar leerlingen eens iets buiten de les te laten proberen, is weinig gedaan. Jammer, want de enkele ervaringen hiermee waren erg positief. `Booglengte en ' is bijvoorbeeld op een van de scholen door enkele goede leerlingen helemaal zelfstandig gemaakt. Zij vonden het erg leuk, leverden goed commentaar, en hebben er ook nog heel enthousiast een mondeling tentamentje voor een cijfer over gedaan.


Ten slotte

Duidelijk is dat het werken aan de bundel vooral voor de actieve CAVO-leden zelf heel waardevol is geweest. Inmiddels is besloten dat de meesten willen doorgaan. Eén van de actiepunten is, en dat zal na het bovenstaande niet verbazen, om zelf nog eens een aantal practica uit de bundel met leerlingen uit te proberen. Verder zal gewerkt worden aan nieuw materiaal dat zou kunnen passen bij de nieuwe wiskundeprogramma's die een onderdeel vormen van de vernieuwingen van de gehele tweede fase van havo en vwo. Daarbij zal CAVO ook weer `extra' stof ontwikkelen die, zoals het er nu uitziet, in de vorm van keuzestof een plaats in het nieuwe curriculum zou kunnen krijgen. Maar we blijven hopen op een belangrijker plaats van computeralgebra in de nieuwe programma's dan alleen de marge van de keuzestof.


Go to:
CONCAVO
CAN
CAIN Home page
CAIN Nederland Home page

Op- of aanmerkingen per e-post naar webmaster@can.nl
Last Update: February 19, 1996